The Romance of Mathematics

Der vorletzte post hat mich in eine Diskussion mit dem Mathematiker Eike Scholz über ontologische Fragen verwickelt, denen dieser post wengistens zum Teil nachgeht und damit komplett off topic ist.

tl;dr

Ist die Mathematik eine von allen Spezies unseres Universums geteilte Beschreibung der Struktur der Natur? Oder ist sie wenigstens eine von allen Spezies des Universums geteilte repräsentationale Sprache? Und sind Mathematiker nebelschwadenumwobene Mysterien, die einen personenunabhängigen und fast magischen Zugang zu nicht jedem zugänglichen Bestandteilen einer im Reich des Logischen angesiedelten, zeitlosen Realität verwalten? Nach meiner Meinung ist das alles Quatsch. Stattdessen wurzelt diejenige Mathematik, die wir so treiben, in unserer sinnlichen Erfahrung derjenigen physischen Welt, auf die wir beschränkt sind. Aber wie könnte man das begründen?

Übersicht: Deals Math with Universals in Nature? The Cognitive Nature of Metaphor Math as a Human Enterprise The Myth of Math Metaphorically Mirrored Math From A Naturalistic Point of View (dowload this post as pdf)	quality: medium

Deals Math with Universals in Nature?

Die Antwort auf Frage, ob Mathematik eine von jeder Spezies im Universum verstandene Sprache ist, hängt davon ab, ob wir von ihr annehmen, daß sie in der Natur vorkommende Strukturen abbildet oder wenigstens gut genug approximiert. Der Jenaer Mathematiker und (unabsichtliche) Begründer der analytischen Sprachphilosophie Gottlob Frege, war der Meinung, daß solche nicht-materiellen Strukturen wirklich existieren. Moderne sprachphilosophische Überlegungen zur epistemischen Funktion auch in der Mathematik nachweisbaren Metaphen legen jedoch die Vermutung nahe, daß Mathematik lediglich diejenigen Wahrnehmungen strukturiert, die uns unsere evolutionär angepaßten Sinnesorgane bieten und der große Aufklärer Immanuel Kant könnte – mindestens in einem Punkt – doch noch Recht behalten.

Man kann darüber diskutieren, von welcher Art mathematisches Räsonieren ist. Sieht man sich unter diesem Aspekt in der Philosophie der Mathematik um, dann trifft man schnell auf das durch die Russell’schen Antinomien zu Fall gebrachte Logizismusprogramm von Frege, der beanspruchte, nachzuweisen, daß Mathematik auf Logik zurückgeführt werden kann. Höhepunkt dieser sog. dritten Grundlagenkrise der Mathematik sind die bekannten Gödel’schen Theoreme, die Mathematiker bis heute zu Widerspruchsfreiheitsbeweisen für die mathematischen Teildisziplinen veranlassen. Ob der von Brouwer initiierte Intuitionismus, der nur konstruktive Beweise in der Mathematik unter bestimmten Beschränkungen wie z.B. dem Ausschluß des tertium non datur zuläßt, die richtige Reaktion darauf ist, kann hier dahingestellt bleiben – obwohl ich ihn klar favorisieren würde.

In diesem paper geht es um eine andere Frage – darum, ob Mathematik erfunden oder entdeckt wird. Daß Mathematik eine hochauflösende Sprache ist, bestreitet wohl niemand ernsthaft. Doch ob mathematische Aussagen etwas repräsentieren – das ist eine epistemische Frage – und was das in diesem Fall bloß sein könnte – das ist eine ontologische Frage – soll hier diskutiert werden. Die oben skizzierte Position, nach der mathematische Aussagen nur entdeckt werden können, werden wir Platonismus in der Mathematik nennen. Die Pointe dieses Artikel liegt darin, daß es möglicherweise für unsere ontologischen und epistemischen Bauchschmerzen in der Mathematik dieselbe naturalistische Arznei gibt – den kognitiven Charakter der sprachlichen Metapher.

Es gibt in Linguistik und Philosophie – vorsichtig geschätzt – etwa dreißig verschiedene Theorien über Metaphern. Natürlich reichen unter diesen Umständen ein paar Absätze nicht aus, den richtigen Ansatz zu formulieren. Wir werden hier daher wie die Mathematiker handeln, indem wir die von Lakoff und Johnson vorgeschlagene kognitive Theorie der Metapher mehr oder weniger voraussetzen, ohne für ihre Richtigkeit einzustehen. Danach werden wir uns fragen, was dieser move für einige zentrale mathematische Konzepte z.B. in der Analysis zur Folge hat. In diesem Zusammenhang werde ich zwei Punkte stark machen: Erstens gibt es Metaphern aus der sinnlichen Erfahrung der physischen Welt, die von der Mathematik lediglich übernommen und formalisiert wurden. Und zweitens ist nicht die komplette und für das Verständnis wesentliche, mathematische Intuition vollständig zu formalen Aussagen geronnen. Wenn aber die in der Mathematik präsenten Metaphern Konstrukte des Geistes sind, dann kann die auf ihnen beruhende Mathematik unmöglich entdeckt, sondern sie muß – anders als die kausalen Abhängigkeiten in der Natur – von uns erfunden werden.

The Cognitive Nature of Metaphor

Es gibt Worte, die uns zum Gehen bringen, während andere uns erlahmen oder wie blind umhertappen lassen: Potente Metaphern bilden nicht einfach Sachverhalte ab, die uns klar vor Augen liegen, sondern sie geben Zusammenhängen Gestalt, von denen wir ohne diese Metaphern nichts wüßten. Insofern erscheint uns die Metapher wie eine Affaire zwischen einem Prädikat mit Verwendungsvergangenheit und einem neuen Gegenstand, der sich ihm unter Protest hingibt. Das gilt vor allem, aber nicht nur im Raum des von Menschen Gemachten und irritierenderweise ist Exaktheit in solchen Fällen die bevorzugte Art, das Thema vollkommen zu verfehlen.

Unabhängig von jeder kursierenden Theorie über sprachliche Metaphern aber zu beschreiben, um welche Phänomene es sich handelt, ist nicht ohne Tücken. Betrachten wir dafür einige Beispiele:

• „Heinrich ist ein Löwe.“
• „Das ist der Zahn der Zeit.“
• „Dein Standpunkt wurde attacktiert“.

Minimalerweise besteht eine Metapher damit offenbar aus vier Teilen: dem primären Gegenstand, dem sekundären Gegenstand, dem Vergleichspunkt und dem „Loch im Vokabular“ als Sinnzentrum der Metapher. Theorien, die sprachliche Metaphern nicht auf eine ornamentale Funktion innerhalb der schönen Literatur beschränken, sondern zu analysieren beanspruchen, teilen sich gegenwärtig in zwei Gruppen: in kognitive und nicht-kognitive Metapherntheorien. Für erstere steht die bewußtseinssteuernde und kognitive Funktion der metaphorischen Sprache im Zentrum. Letztere lassen sich grob in Vergleichs- bzw. Substitutionstheorien und Interaktionstheorien differenzieren.

Doch nicht-kognitive Ansätze sind prima facie wenig überzeugend: Nicht alle Metaphern sind in eine Folge von Vergleichen äquivalent überführbar, wie Vergleichstheorien das behaupten. Betrachten wir ein Beispiel:

• „Wenn das Blut lodert, wie verschwenderisch verleiht die Seele der Zunge Schwüre.“

z.B. läßt sich kaum in Vergleiche übersetzen und wenn wir es doch versuchen, sind die Ähnlichkeiten, die wir nennen, oft selbst figurativ, so daß der ganze Vorschlag, Metaphern als Vergleiche zu analysieren, bestenfalls zirkulär ist. Der Substitutionstheorie nahe stehende Autoren behaupten hingegen, daß Metaphern Ablösungen eines Wortetiketts von seinem Träger und einen Transfer auf einen ähnlichen, neuen Träger darstellen. Doch meistens ist es so gut wie unmöglich, allein der sprachlichen Bedeutung der verwendeten Worte nach die “eigentliche“ einer “uneigentlichen“ Ausdrucksverwendung gegenüberzustellen. Es ist auch – soweit ich weiß – bisher niemandem gelungen, ohne Metaphern in allen Fällen metaphorischer Redeweise die geforderte Ähnlichkeit der Träger darzulegen. Vertreter der Interaktionstheorie sehen Metaphern typischerweise als Bestandteil einer komplexen Kommunikationsssituation, bzgl. der sie einen irreduziblen, kognitiven Gehalt haben, indem sie gegen feste Spielregeln der Wortverwendung verstoßen. Doch wenn das der Fall wäre, dann wäre die Verwendung von Metaphern unverständlich oder wenigstens irreführend, nicht aber sinnstiftend.

Die kognitiven Metapherntheorien hingegen vermuten, daß Fragen der Konzeptualisierung, der sprachlichen Bedeutung, des Begründens oder der Sprache selbst primär empirische Fragen sind, die nicht apriori beantwortet werden können. Die semantische Natur der Metapher ist demnach eine Sache der Erkenntnis, nicht der Definition. Metaphern sind in diesem Sinne Leitfossilien aus einer archaischen Schicht des Prozesses theoretischer Neugierde, versehen mit einer Fülle von Stimulationen und Wahrheitserwartungen: Wir benutzen systematisch Modelle und Muster von Schlüssen aus einem Bereich unserer Begriffe, um einen anderen, neuen und noch unbekannten Bereich zu erschließen und zu konzeptualisieren. Solche Übertragungen von Begriffen sind rein empirisch, motiviert durch deren bisherige theoretische Fruchbarkeit, ihre Diskriminationsfähigkeit, und sie hängen entscheidend von unseren Erfahrungen über die Schnittstelle beider Bereiche ab. Betrachten wir dazu ein Beispiel: Die Metapher des Querkopfs z.B. wurde in der Geometrie geboren, verpflanzt in die Mechanik fluider Medien, und schließlich ins Mentale exportiert, um den Widerwillen von Personen gegen den jede Art von Überzeugungs- demokratie kenntlich zu machen. Nach dem kognitiven Ansatz bleibt eine Metapher aber immer metaphorisch, d.h. nichts garantiert, daß eine Metapher irgendwann einmal eine elaborierte und haltbare Theorie erhalten wird, die ihre Bildung und Verwendung nachträglich legitimiert.

Wir werden die Richtigkeit dieses letzten, kognitiven Ansatzes zur Analyse von Metaphern voraussetzen, wenn wir uns im nächsten Absatz daran machen, zu zeigen, daß es mathematische Aussagen und Definitionen gibt, die in zentraler Hinsicht auf bestimmten Metaphern beruhen.

Math as a Human Enterprise

Die reellen Zahlen und der Grenzwertbegriff bei Zahlenfolgen sind für die Analysis basale Konzepte. Sollten sie auf kognitiven Metaphern als reinen Konstrukten des Geistes beruhen, wäre das ein guter Grund, zu glauben, daß große Teile der Analysis weit davon entfernt sind, von zeitlosen und universell gültigen Strukturen zu handeln, die für alle Spezies des Universums gleichermaßen gültig und zugänglich sind: Platonismus in der Mathematik wäre eine ziemlich unattraktive Option.

Die zur Einführung der reellen Zahlen nötigen Axiome an dieser Stelle zu notieren, wäre weitschweifig. Stattdessen erinnern wir lediglich daran, daß die Menge R der reellen Zahlen eine Menge mit algebraischer Struktur, ein Körper, ist, der eine Ordnungsstruktur hat: R ist ein unter Multiplikation und Addition abgeschlossener, archimedisch angeordneter Körper. Wer möchte, kann diese Definitionen nachschlagen. Wichtig sind sie für das Folgende nicht. Es genügt, sich klarzumachen, daß R aus allen Brüchen n/m mit n,m ∈ N (d.h. den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen besteht, die entweder Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind oder nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung dargestellt werden können. N bezeichnet die Menge natürlicher Zahlen. Was an R hier allein interessiert, ist seine topologische Struktur, das Axiom der Vollständigkeit:

• (1) Jede nach oben (nach unten) beschränkte, nicht leere Teilmenge M ⊂ R hat eine kleinste obere (größte untere) Schranke.

Wir sagen, daß M eine obere (untere) Schranke a hat genau dann, wenn für alle Elemente x ∈ M gilt: x < a (x > a) und a ∉ M. (1) markiert den einzigen Unterschied zur der Menge Q der rationalen Zahlen. Salopp formuliert: Es ist (1), das eine Zahl zu einer reellen Zahl macht.

Doch was trägt (1) in Bezug auf Metaphern aus? In (1) wird demonstriert, daß nicht in allen Fällen die gesamte, für das Verständnis wesentliche, mathematische Intuition zu formalen Ausdrücken geronnen ist:

• (A) Denn die mathematische Intuition hinter (1) wird dadurch ausbuchstabiert, daß man sich den Spezialfall vorstellt, ein Intervall auf dem Zahlenstrahl zu halbieren, das halbierte Intervall wieder zu halbieren, und so weiter. Die am weitesten rechts bzw. links liegende Intervallgrenze ist die gesuchte Schranke. Doch (1) sagt nichts über das und so weiter aus: Das gleichförmige, nicht-abbrechende Wiederholen ist nicht formalisiert und man muß es sich dazu denken. Nun ist es eine bekannte Tatsache, daß (1) äquivalent ist zu dem sog. Intervallschachtelungsprinzip. Danach gibt es zu jeder Intervallschachtelung in R genau eine reelle Zahl, die in allen ineinander liegenden Intervallen enthalten ist. Doch im Intervallschachtelungsprinzip wird das und so weiter nicht thematisiert: Von der Tatsache, daß ein nicht abbrechend wiederholtes, gleichförmiges Aufteilen eines ausgedehnten Intervalls irgendwann zu einem Intervall der Länge 0 schrumpft, ist nirgendwo die Rede und man muß es sich wieder dazudenken. Das Gleiche gilt von der Intuition, daß ein Intervall der Länge 0 auf dem Zahlenstrahl kaum etwas anderes sein kann als ein Punkt, eine reelle Zahl.

Der Witz ist: Was in (A) steht, mag einleuchten. Aber formal fixiert ist es nicht in (1) und auch sonst nirgendwo. Vielmehr wird an geometrische, aus der täglichen Anschauung stammende Intuitionen beim Verständnis der Vollständigkeit appelliert, d.h. (1) leuchtet nicht deshalb ein, weil hier Schlüsse über mathematische Objekte, wie z.B. Zahlen oder Punkte gewissen Standards der deduktiven Korrektheit genügen, sondern weil wir im Umgang mit der endlichen Ausdehnung der physischen Welt bereits vor aller Mathematik über ein Verständnis des teilbaren physikalischen Raumes verfügen. Und auch das Abbrechen von Wiederholungen in (A) ist klarerweise eine Metapher des Zeitlichen, ohne deren Verständlichkeit (A) nur Gebrabbel wäre.

Notieren wir in einem zweiten Schritt den üblichen Grenzwertbegriff:

• (2) Sei a₁,a₂,a₃, …. eine Folge reeller Zahlen und ||⋅|| bezeichne die Betragsfunktion. Wir sagen, daß diese Folge gegen den Grenzwert a konvergiert genau dann, wenn es für jede reelle Zahl ε >0 einen Folgenindex N( ε)∈ N gibt derart, daß ||a__n-a||< ε für jeden Folgenindex n > N(ε).

Doch was hat (2) mit Metaphern zu tun? In (2) wird demonstriert, daß es Metaphern aus dem Bereich der sinnlichen Erfahrung gibt, die von der Mathematik übernommen und formalisiert wurden. Als Beispiel stellen wir uns eine Folge (a_n) reeller Zahlen vor, die bei a₁=1 beginnt und durch a_n=1/n gebildet wird. Wegen (1) wissen wir, daß eine größte untere Schranke der durch die Folgenglieder gebildeten Menge und wegen a_n=1/n i.S.v. (2) sogar der Grenzwert von (a_n) existiert: a=0.

• (B) Worauf (2) hinaus will, ist, daß man mit Hilfe des Laufindex n die Folgenglieder von (a_n) für einen vorgegebenen Wert von ε durchläuft und ||a_n-a||< ε nachrprüft für alle n > N(ε). Aber natürlich kann man das nicht tun, weil das unendlich viele Prüfungen wären – und zwar für jeden möglichen Wert von ε unendlich viele (was dann eventuell etwas länger dauert). Stattdessen sieht man ein, daß a=0 ist, weil (2) formalisiert, was wir aus unserer Erfahrung mit der Manipulation makroskopischer, physischer Gegenstände kennen: Was immer wir tun, hat unabhängig von dessen Zeitpunkt dasselbe zur Folge und ohne Grund passiert eben auch nichts. Wir werden im Folgenden von Gleichförmigkeit sprechen.

Nicht z.B. die formale Strenge unserer Gedanken oder unsere Genauigkeit im procedere erlauben es uns daher, einzusehen, daß a=0 ist, sondern wir rechtfertigen die Aussage a=0, weil wir den Effekt einer Regel a_n=1/n auf a₁=1 vorhersagen nach dem Vorbild einer endlichen Welt physischer Gegenstände, mit denen wir Erfahrungen in Sachen Gleichförmigkeit bereits gesammelt haben. Daß diese Gleichförmigkeit täuscht und z.B. in der Quantenwelt alles sehr viel komplizierter ist, spielt hierfür keine Rolle. Entscheidend ist, daß die Intuition der gleichförmigen Wiederholung genau das ist, was in (2) formalisiert wurde und auch intuitiv aussagt – nur eben für mathematische Objekte aus einer Menge, für die ein Abstandsbegriff in Form der Betragsfunktion erklärt ist. Und natürlich ist klar, daß die Rede von der Gleichförmigkeit, die wir in der Welt physischer Gegenstände tagtäglich zu erleben scheinen, ebenfalls eine Metapher ist, deren Verständlichkeit unabhängig von aller Mathematik für (B) bereits vorausgesetzt wird.

The Myth of Math Metaphorically Mirrored

Nehmen wir einmal an, daß diese Analysen des Grenzwertbegriffes und der Definition der reellen Zahlen richtig sind. Dann haben wir in den vorangegangenen Absätzen an zwei Beispielen demonstriert, daß Metaphern der sinnlichen Erfahrung in der Bedeutung und Erklärungen elementarer mathematischer Aussagen und Definitionen in nicht eliminierbarer Weise enthalten sind: Einige recht basale mathematische Aussagen wie z.B. in (1) und auch andere Theoreme, formuliert z.B. in Termen von (2), verhalten sich dem Verständnis nach parasitär zu den konzeptualisierten, sinnlichen Erfahrungen, die wir machen, wenn wir lernen, uns in unserer endlichen, bürgerlichen Welt der Kaffeetassen, Treppen und Apfelbäume zu bewegen. Sind diese Metaphern zusätzlich kognitiv, dann gibt es einen Grund für die These, daß alle auf diese Weise axiomatisch erzeugten mathematischen Objekte inklusive ihrer Eigenschaften nicht etwa einem nach und nach zu entdeckenden Reich des Logischen angehören, wie Platonisten dies behaupten könnten. Stattdessen wären sie nichts anderes als Produkte des menschlichen Geistes, eingebettet in das vormathematische Verständnis unserer sinnlichen Erfahrungen der physischen Welt. Und ich würde mich sehr wundern, wenn es nicht noch sehr viel mehr Beispiele mathematischer Begriffe geben würde, die wie in (A) bzw. (B) zu analysieren sind. Solange wir daher keinen Grund haben, zu glauben, daß allein die menschlichen Erfahrungen die wahre Natur des Universums offenbaren und wir auch nichts über Spezies in fernen Galaxien und deren Erfahrungen oder Wahrnehmungen ihrer Lebenswelt wissen, gäbe es nicht den mindesten Grund, einen platonischen Standpunkt in der Mathematik für attraktiv zu halten: Mathematik wäre spannend, aber nicht romantisch i.S.d. oben genannten Platonismus.

Unser Ergebnis in diesem paper ist daher ein Konditionalsatz: Schon wenn eine geeignete Variante der kognitiven Metapherntheorie für die in der Mathematik nachweisbaren Metaphern richtig ist, dann ist nicht nur der Platonismus in der Mathematik höchst unglaubwürdig, sondern auch die Mathematik selbst ist eine ganz normale Wissenschaft, die weder einen besonderen Status hat noch von etwas Besonderem handelt oder in anderer Weise privilegiert und elitär wäre. Und genau dieser, viel bescheidenere Standpunkt war mit der angekündigten, naturalistischen Arznei für unsere ontologischen und epistemischen Bauchschmerzen zu Beginn dieses Artikels gemeint. Doch welchen charakteristischen Unterschied macht ein naturalistischer Standpunkt in Sachen Mathematik?

Math From A Naturalistic Point of View

Einem naturalistischen Mathematiker würde sich z.B. ein unverkrampfter Blick auf die immer stärker Fahrt aufnehmende Mathematisierung der Lebenswissenschaften bieten: Es ist – anders als Kant vermutete – nicht plötzlich mehr Wissenschaftlichkeit oder gar Realismus z.B. in der Biologie enthalten nur deshalb, weil sie begonnen hat, sich mathematischer Methoden zu bedienen. Wer daher die in diesem paper gegebenen Erklärungen mitmacht, der kann ein Wissenschaftsverständnis vertreten, nach dem eine Mathematisierung aller akademischen Disziplinen zu fordern, schlicht übertrieben ist und die wissenschaftshistorische These, daß mathematische Methoden von einigen akademischen Disziplinen erst relativ spät nach ihrer Entstehung als Hilfsmittel eingesetzt wurden, hat folglich nur noch für die strenggläubigen Platonisten in der Mathematik einen epistemologischen oder gar ontologischen Geschmack a priori. Denn in diesem Fall könnte die einer möglichen Mathematik zugrundeliegende Erfahrung mit der physischen Welt von irgendwelchen aliens, deren Wahrnehmungsapparat an ganz andere äußere Umstände angepaßt sein mag, völlig anders aussehen.

Heilsam könnte unsere naturalistische Arznei auch für das angebliche Rätsel der Eignung der Mathematik für die Beschreibung der natürlichen Vorgänge und Ereignisse sein: Insofern Mathematik unser intuitives und metapherngeleitetes Verständnis unserer sinnlichen Erfahrungen formalisiert, konzeptualisiert sie in quantifizierbarer Weise diejenigen Phänomene, die wir zu erklären wünschen, so daß wir ein und dasselbe framework der Naturbeschreibung niemals verlassen, wenn wir beginnen, Mathematik zu treiben. Auch die ewige Frage, warum Mathematik die Sprache der Physik ist, würde dadurch verschwinden: Beide Disziplinen wären nur verschiedene Aspekte desselben frameworks. Es ist klar, daß Platonisten dieser move unmöglich ist. Aber natürlich ist diese Art von Kosten-Nutzen-Abwägung bei mathematischen Bauchschmerzen allein noch kein Argument, sondern bestenfalls ein Vorschlag, wie man mit modernen philosophischen Mitteln ein altes begriffliches Rätsel auf interessante Weise angehen könnte. Dennoch zeigt er, daß der unter Mathematikern sehr beliebte und gelegentlich strukturalistisch genannte Standpunkt a la Gottlob Frege interessante Alternativen hat und Mathematik vielleicht ohne problematisch starke ontologische Annahmen auskommt.

Literature:

Realism, Mathematics and Modality, H. Field (1989)
Analysis, K. Königsberger (2009)
Metaphor: A Practical Introduction. Z. Kövecses (2002)
Philosophy in The Flesh, G. Lakoff and M. Johnson (1999)
Where Mathematics Comes From, G. Lakoff  and R. Nunez (2000)
Naturalism in Mathematics, P. Maddy (1997).